2 Đường Thẳng Vuông Góc

     

Nội dung bài bác học để giúp đỡ các em cụ được những khái niệm vectơ trong ko gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không gian và khái niệm hai tuyến phố thẳng vuông góc. Hình như là những ví dụ minh họa để giúp đỡ các em sinh ra các tài năng giải bài tập liên quan đến tính góc, chứng tỏ hai con đường thẳng vuông góc bằng vectơ.

Bạn đang xem: 2 đường thẳng vuông góc


1. Nắm tắt lý thuyết

1.1.Góc thân haivectơ

1.2. Tích vô vị trí hướng của hai vectơ

1.3. Vectơ chỉ phương của con đường thẳng

1.4. Góc giữa hai tuyến đường thẳng

1.5. Hai tuyến đường thẳng vuông góc

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài bác 2 chương 3 hình học 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai con đường thẳng vuông góc

3.2 bài xích tập SGK và nâng cao vềHai đường thẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 3 hình học 11


Cho (vec u)và (vec v)là nhị vectơ trong không gian. Xuất phát điểm từ 1 điểm A bất kì vẽ (overrightarrow AB = overrightarrow u ,overrightarrow AC = overrightarrow v). Lúc đó ta call góc (widehat BAC(0 le widehat BAC le 180^0))là góc giữa hai vecto vectơ (vec u)và(vec v), kí hiệu là (left ( vec u ;vec v ight )). Ta có:(left ( vec u ;vec v ight )=widehat BAC).

*


a) Định nghĩa tích vô vị trí hướng của hai vectơ

Tích vô vị trí hướng của hai vectơ(vec u)và(vec v)đều không giống vectơ-không là một trong những được kí hiệu là (vec u .vec v)xác dịnh bởi:

(overrightarrow u .overrightarrow v = left| overrightarrow u ight|.left| overrightarrow v ight|.c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ))

Nếu (vec u= vec0)hoặc (vec v= vec0)thì ta quy ước(vec u.vec v=0.)

b) Tính chấttích vô hướng của hai vectơ

Với tía vectơ(overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c)trong không gian và với mọi số k ta có:

(overrightarrow a .overrightarrow b = overrightarrow b .overrightarrow a)(tính hóa học giao hoán).(overrightarrow a (overrightarrow b + overrightarrow c ) = overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow a .overrightarrow c)(tính hóa học phân phối).((k.overrightarrow a ).overrightarrow b = k.(overrightarrow a .overrightarrow b ) = overrightarrow a .koverrightarrow b .)(overrightarrow a ^2 ge 0,overrightarrow a ^2 = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0.)c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc thân hai vectơ(vec u)và(vec v)bằng (c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ))theo công thức:(c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ) = fracoverrightarrow u .overrightarrow v overrightarrow u ight).


1.3. Vectơ chỉ phương của con đường thẳng


Vectơ (overrightarrow a e overrightarrow 0)được điện thoại tư vấn là vectơ chỉ phương của con đường thẳng d giả dụ giá của vectơ(overrightarrow a)song tuy vậy hoặc trùng với con đường thẳng d.

*

Nếu (overrightarrow a)là vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng d thì vectơ (koverrightarrow a)với (k e 0)cũng là một trong vectơ chỉ phương của d.

Một mặt đường thẳng d trong không gian trọn vẹn xác định được trường hợp biết một điểm A ở trong d với một vectơ chỉ phương (overrightarrow a)của d.


1.4. Góc giữa hai đường thẳng


Góc giữa hai đường thẳng a với b trong không gian là góc giữa hai tuyến phố thẳng a’ và b’ thuộc đi sang 1 điểm bất kỳ lần lượt song song với a với b.

*


1.5. Hai tuyến phố thẳng vuông góc


a) Định nghĩa

Hai mặt đường thẳng a cùng b call là vuông góc với nhau trường hợp góc thân chúng bằng 900. Ta kí hiệu là:(b ot a)hoặc(a ot b.)

b) Tính chấtNếu(vec u)và(vec v)lần lượt là những vectơ chỉ phương của hai tuyến đường thẳng a với b thì:(a ot b Leftrightarrow overrightarrow u .overrightarrow v = 0.)Cho hai tuyến đường thẳng tuy vậy song. Giả dụ một mặt đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với con đường thẳng kia.Hai con đường thẳng vuông góc nhau thì hoàn toàn có thể cắt nhau hoặc chéo cánh nhau.

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy khẳng định góc giữa những cặp vectơ sau đây:

a)(overrightarrow AB ,overrightarrow EG .)

c)(overrightarrow AB ,overrightarrow DH).

Xem thêm: Các Bài Viết Bài Tập Làm Văn Số 7 Lớp 8 Đề 2, Viết Bài Tập Làm Văn Số 7 Lớp 8

Hướng dẫn giải:

*

a) vì chưng EG // AC bắt buộc góc giữa(overrightarrow AB ,overrightarrow EG)cũng bởi góc giữa(overrightarrow AB)và(overrightarrow AC)

Vậy(left( overrightarrow AB ;overrightarrow EG ight) = left( overrightarrow AB ;overrightarrow AC ight) = 45^0.)

b) bởi AB // DG nên góc giữa(overrightarrow AB ,overrightarrow DH)cũng bằng góc giữa(overrightarrow DC)và(overrightarrow DH)

Vậy(left( overrightarrow AB ;overrightarrow DH ight) = left( overrightarrow AB ;overrightarrow DH ight) = 45^0.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC gồm SA = SB =SC và có (widehat mASB = widehat BSC = widehat CSA.)

Chứng minh rằng:(SA ot BC, SBot AC, SC ot AB.)

Hướng dẫn giải:

Xét các tích vô hướng:(overrightarrow SA .overrightarrow BC ,overrightarrow SB .overrightarrow AC ,overrightarrow SC .overrightarrow AB .)

Ta có:

(eginarrayl overrightarrow SA .overrightarrow BC = overrightarrow SA .(overrightarrow SC - overrightarrow SB ) = overrightarrow SA .overrightarrow SC - overrightarrow SA .overrightarrow SB \ = left| overrightarrow SA ight|.left| overrightarrow SC ight|.c moswidehat mCSA - left| overrightarrow SA ight|.left| overrightarrow SB ight|c moswidehat mASB endarray)

Theo giá chỉ thuyết:(left| overrightarrow SB ight| = left| overrightarrow SC ight|)

Và:(c moswidehat mCSA = c moswidehat mASB Rightarrow overrightarrow SA .overrightarrow BC = 0)

Vậy:(SA ot BC.)

Chứng minh giống như ta có:(SBot AC, SC ot AB.)

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD gồm AB⊥AC và AB⊥BD. Gọi p. Và Q thứu tự là trung điểm của AB và CD. Chứng tỏ rằng AB với PQ là hai tuyến phố thẳng vuông góc cùng với nhau.

Lời giải:

*

Ta có: (overrightarrow PQ = overrightarrow PA + overrightarrow AC + overrightarrow CQ)

Và: (overrightarrow PQ = overrightarrow PB + overrightarrow BD + overrightarrow DQ)

Do đó: (2overrightarrow PQ = overrightarrow AC + overrightarrow BD)

Vậy:(2.overrightarrow PQ .overrightarrow AB = left( overrightarrow AC + overrightarrow BD ight).overrightarrow AB = overrightarrow AC .overrightarrow AB + overrightarrow BD .overrightarrow AB = 0)

Hay (overrightarrow PQ .overrightarrow AB = 0)Tức là: (PQ ot AB.)

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD tất cả AB=AC=AD=a, (widehat BAC = widehat BAD = 60^0.).

a) chứng minh rằng AB vuông góc CD.

b) nếu như I, J thứu tự là trung điểm của AB cùng CD thì (AB ot IJ.)

Hướng dẫn giải:

*

a) Ta có:

(eginarrayl overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AB left( overrightarrow AD - overrightarrow AC ight) = overrightarrow AB .overrightarrow AD - overrightarrow AB .overrightarrow AC \ = left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AD ight|.cos BAD - left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AC ight|.cos BAC endarray)

Mặt khác ta có:(AB = AC = AD,widehat BAC = widehat BAD)

Nên:(overrightarrow AB .overrightarrow AC = left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AD ight|.cos BAD - left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AC ight|.cos BAC = 0)

Vậy AB vuông góc cùng với CD.

b)) do I, J là trung điểm của AB với CD yêu cầu ta có:(overrightarrow IJ = frac12left( overrightarrow AD + overrightarrow BC ight))

Do đó:

(eginarrayl overrightarrow AB .overrightarrow IJ = frac12left( overrightarrow AB .overrightarrow AD + overrightarrow AB overrightarrow BC ight) = frac12left( overrightarrow AB .overrightarrow AD + overrightarrow AB overrightarrow BA + overrightarrow AB .overrightarrow AC ight)\ = frac12left( overrightarrow AB ight ight)\ = frac12left( frac12a^2 - a^2 + frac12a^2 ight) = 0 endarray)

Vậy AB với IJ vuông góc nhau.


Câu 3:

Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng nếu(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AC .overrightarrow AD = overrightarrow AD .overrightarrow AB )thì(AB ot CD,AC ot BD,AD ot BC). Điều trái lại có đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1:(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AC .overrightarrow AD Leftrightarrow overrightarrow AC left( overrightarrow AB - overrightarrow AD ight) = 0)

( Leftrightarrow overrightarrow AC .overrightarrow DB = 0 Leftrightarrow AC ot BD)

Bước 2: minh chứng tương tự, từ(overrightarrow AC .overrightarrow AD = overrightarrow AD .overrightarrow AB ) ta được(AD ot BC)

và(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AD .overrightarrow AB ) ta được(AB ot CD)

Bước 3: trái lại đúng, bởi vì quá trình chứng minh ở bước 1 với 2 là quá trình đổi khác tương đương.

Bài giải bên trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở đâu?


Bên cạnh đó các em rất có thể xem phần lí giải Giải bài bác tập Hình học 11 bài xích 2sẽ giúp các em ráng được các phương thức giải bài xích tập trường đoản cú SGKhình học 11Cơ bản và Nâng cao.

Xem thêm: Tìm Khoảng Cách Giữa 2 Đường Thẳng Và Phương Pháp Tính Khoảng Cách

bài bác tập 1 trang 97 SGK Hình học 11

bài tập 2 trang 97 SGK Hình học 11

bài bác tập 3 trang 97 SGK Hình học 11

bài xích tập 4 trang 98 SGK Hình học tập 11

bài tập 5 trang 98 SGK Hình học 11

bài bác tập 6 trang 98 SGK Hình học 11

bài bác tập 7 trang 98 SGK Hình học tập 11

bài bác tập 8 trang 98 SGK Hình học 11

bài bác tập 3.8 trang 138 SBT Hình học 11

bài bác tập 3.9 trang 138 SBT Hình học 11

bài tập 3.10 trang 138 SBT Hình học 11

bài tập 3.11 trang 139 SBT Hình học 11

bài xích tập 3.12 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 3.13 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài xích tập 3.14 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài tập 3.15 trang 139 SBT Hình học 11

bài tập 7 trang 95 SGK Hình học 11 NC

bài tập 8 trang 95 SGK Hình học tập 11 NC

bài bác tập 9 trang 96 SGK Hình học tập 11 NC

bài tập 10 trang 96 SGK Hình học 11 NC

bài tập 11 trang 96 SGK Hình học tập 11 NC


4. Hỏi đáp về bài xích 2 chương 3 hình học 11


Nếu có thắc mắc cần giải đáp những em rất có thể để lại câu hỏi trong phầnHỏiđáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.