Căn a bằng căn b

     

Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kỹ năng và kiến thức mà những em học tập ở ngay lập tức chương 1 đại số lớp 9, phần bài tập về căn thức cũng thường xuyên xuyên mở ra trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Căn a bằng căn b


Có nhiều dạng bài bác tập về căn thức như: rút gọn biểu thức, tính quý giá của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Mặc dù nhiên, trong nội dung bài viết này họ tập trung tìm hiểu cách giải phương trình cất dấu căn, qua đó áp dụng giải một vài bài tập về phương trình chứa căn thức để rèn luyện năng lực giải toán.


I. Kiến thức cần nhớ khi giải phương trình đựng dấu căn

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*
 với e ≥ 0 là hằng số

i) ngôi trường hợp: 

*
 hoặc 
*
 thì:

+ cách 1: Tìm điều kiện của x nhằm f(x) ≥ 0

+ bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ cách 3: Giải phương trình nhằm tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện

* lấy ví dụ như 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi ấy bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện nên pt gồm nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, lúc đó bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi ấy ta có (ở bày này ta có thể rút gọn hệ số trước khi bình phương 2 vế):

 

*

 

*
 
*

- Ta thấy x = 50 thỏa điều kiện nên pt gồm nghiệm x = 50.

d) (*)

- vị (1 - x)2 ≥ 0 ∀x buộc phải pt xác minh với đa số giá trị của x.

 

*

*

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* lấy ví dụ 2: Giải những phương trình sau:

a)  b) 

*

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

*

- lúc đó bình phương 2 vế ta được:

*
 
*

- Đối chiếu đk (x ≥ 3/2) ta thấy x = một nửa không thỏa điều kiện này, cần ta KHÔNG nhận nghiệm này. Kết luận pt vô nghiệm.

ii) ngôi trường hợp:  (*) thì ta buộc phải kiểm tra biểu thức f(x).

+) nếu f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

*
*

+) Nếu  không có dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện các bước sau:

- cách 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- cách 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- cách 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng biện pháp phân tích thành nhân tử mang lại pt tích).

* lấy ví dụ như 1: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 đề nghị ta có:

 

*

 

*
 
*

* lấy một ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không tồn tại dạng (Ax ± B)2 nên ta thực hiện như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x phải biểu thức xác minh với hầu như giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

*

- Kết luận: Phương trình tất cả 2 nghiệm x = -1 với x = 5.

2. Giải phương trình cất dấu căn dạng: 

*

* phương pháp giải:

- bước 1: Viết đk của phương trình: 

*

- cách 2: dấn dạng từng loại khớp ứng với các cách giải sau:

 ¤ một số loại 1: nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn đưa về phương trình trị hoàn hảo nhất để giải.

 ¤ các loại 2: nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ nhiều loại 3: ví như f(x) = Ax2 + Bx + C và g(x) = Ex ± D thì cần sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ một số loại 4: ví như f(x) = Ax2 + Bx + C với g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử so sánh f(x) cùng g(x) thành nhân tử, nếu chúng bác ái tử bình thường thì để nhân tử chung mang về phương trình tích.

- bước 3: chất vấn nghiệm tìm được có vừa lòng điều khiếu nại không kế tiếp kết luận nghiệm của phương trình.

* lấy ví dụ như 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

*

 

*

- Vậy phương trình vô nghiệm

* ví dụ 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

*

- Vậy phương trình tất cả vô số nghiệm x ≤ 3.

* lấy ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

Xem thêm: 400 Độ F Bằng Bao Nhiêu Độ C Huyển Đổi Độ F Sang Độ C, 400 Độ F Bằng Bao Nhiêu Độ C

- Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 2 thỏa đk nên phương trình dìm nghiệm này.

- Phương trình gồm nghiệm x = 2.

* ví dụ như 4: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế nên là dạng hàm bậc 1) phải để khử căn ta dùng cách thức bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

*
 khi đó ta bình phương 2 vế được:

*

*

- chất vấn x = -10 có vừa lòng điều kiện không bằng phương pháp thay cực hiếm này vào các biểu thức điều kiện thấy không thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình đựng dấu căn dạng: 

*
 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện các bước sau:

- bước 1: Nếu f(x) và h(x) bao gồm chứa căn thì buộc phải có đk biểu thức vào căn ≥ 0.

- cách 2: Khử căn thức đưa phương trình về dạng pt trị tuyệt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- bước 3: Xét vệt trị tuyệt vời (khử trị hay đối) nhằm giải phương trình.

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- mặt khác, ta thấy: 

*
 và 
*
 nên ta có:

 

*
 (**)

- Ta xét những trường hợp để phá lốt trị xuất xắc đối:

+) TH1: Nếu 

*
, ta có:

 

*

⇒ Phương trình bao gồm vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- nhận thấy: 

*

*

- Đến phía trên xét những trường hòa hợp giải giống như ví dụ 1 ở trên.

4. Cách giải một vài phương trình đựng căn khác.

i) phương thức đặt ẩn phụ nhằm giải phương trình chứa dấu căn.

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

*
 khi kia ta bao gồm pt (*) trở thành:

 

*

- cả hai nghiệm t hồ hết thỏa điều kiện nên ta có:

 

*

 

*

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn các em đang học sinh sống nội dung bài xích chương sau).

* lấy ví dụ như 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

 Đặt 

*
, lúc đó pt(*) trở thành:

 

*

- Ta thấy pt(**) tất cả dạng sống mục 2) loại 3; với điều kiện 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- cùng với t = 2 thỏa đk 0≤ t ≤ 5 đề nghị ta có:

*

→ Phương trình gồm nghiệm x = 6.

* ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Khi đó ta có:

*

 Đặt 

*
 khi kia pt(**) trở thành:

 

*

- Đối chiếu điều kiện thì t = -5 các loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

*

- khám nghiệm thấy 2 nghiệm x bên trên thỏa đk nên pt tất cả 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

Xem thêm: Đường Trung Trực Là Gì? Cách Chứng Minh Đường Trung Trực ? Cách Chứng Minh Đường Trung Trực Lớp 7

ii) cách thức đánh giá biểu thức dưới lốt căn (lớn rộng hoặc nhỏ tuổi hơn 1 hằng số) nhằm giải phương trình chứa căn thức.

- Áp dụng với phương trình cất căn thức dạng: 

*
 (với c,d>0 cùng c+d=e)

- PT có thể cho ngay lập tức dạng này hoặc bao gồm thể bóc tách một hệ số nào đó để có 2; 2 hay 2;