Xét sự liên tục của hàm số

     

Hàm số liên tục còn được phát âm là xét tính liên tiếp của hàm số, đây là một một chủ để đặc biệt quan trọng thuộc toán lớp 11 bậc trung học phổ thông. Là kỹ năng căn bạn dạng để chúng ta học tốt chủ đề hàm số. Nội dung bài viết này đang tóm lược những định hướng trọng tâm đề nghị nhớ đồng thời phân dạng bài xích tập cụ thể giúp các bạn rèn luyện năng lực giải bài bác tập hàm số liên tục.

Bạn đang xem: Xét sự liên tục của hàm số


1. Triết lý hàm số liên tục

1.1 Hàm số tiếp tục tại một điểm

Hàm số liên tục là gì?

Định nghĩa: mang lại hàm số y = f(x) xác minh trên khoảng chừng (a; b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ (a; b) nếu như $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$

Nếu tại điểm x0 hàm số y = f(x) ko liên tục, thì được call là gián đoạn tại x0 với điểm x0 được điện thoại tư vấn là điểm ngăn cách của hàm số y = f(x).

Nhận xét. Hàm số được điện thoại tư vấn là tiếp tục tại điểm x0 trường hợp ba điều kiện sau được mặt khác thỏa mãn:


f(x) xác định tại x0.$mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ tồn tại.$mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = f(x0)

Hàm số y = f(x) đứt quãng tại điểm x0 nếu bao gồm ít nhất một trong những 3 điều kiện trên ko thỏa mãn. Nếu như sử dụng giới hạn một bên thì:

*

Đặc trưng khác của tính liên tiếp tại một điểm

Cho hàm số y = (x) xác minh trên (a; b). Giả sử x0 cùng x (x ≠ x0) là hai bộ phận của (a; b)

Hiệu x−x0, cam kết hiệu: ∆x, được gọi là số gia của đối số tại điểm x0. Ta có: ∆x = x−x0 ⇔ x = x0+∆x.

Hiệu y − y0, ký kết hiệu: ∆y, được call là số gia tương xứng của hàm số trên điểm x0. Ta có: ∆y = y − y0 = f(x) − f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0).


Đặc trưng: sử dụng khái niệm số gia, ta hoàn toàn có thể đặc trưng tính thường xuyên của hàm số y = f(x) trên điểm x0 như sau:

1.2 Hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là thường xuyên trong khoảng chừng (a; b) nếu như nó tiếp tục tại từng điểm của khoảng chừng đó.Hàm số y = f(x) được call là liên tiếp trên đoạn nếu nó:

*

1.3 những định lý về hàm số liên tục

Định lí 2. Tổng, hiệu, tích, mến (với mẫu mã số không giống 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là hàm số thường xuyên tại điểm đó. đưa sử y = f(x) cùng y = g(x) là hai hàm số liên tiếp tại điểm x0. Lúc đó:

Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) − g(x) với y = f(x).g(x) liên tiếp tại điểm x0Hàm số $y = fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ liên tục tại x0 giả dụ g(x0) = 0

Định lí 3. Các hàm nhiều thức, hàm số hữu tỉ, các chất giác là liên tiếp trên tập xác định của nó.

Xem thêm: Đừng Coi Thường Bất Kỳ Ai - Những Câu Nói Hay Nhức Nhói


*

2. Phân dạng hàm số liên tục

Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số trên một điểm

*

Dạng 2. Xét tính thường xuyên của hàm số tại một điểm

*

Dạng 3. Xét tính thường xuyên của hàm số bên trên một khoảng

Để xét tính tiếp tục hoặc xác minh giá trị của tham số nhằm hàm số liên tục trên khoảng tầm I, bọn họ thực hiện tại theo các bước sau:

bước 1: Xét tính tiếp tục của hàm số trên những khoảng đơn.Bước 2: Xét tính liên tiếp của hàm số tại những điểm giao.Bước 3: Kết luận

Dạng 4. Thực hiện tính liên tục của hàm số để hội chứng minh

Cho phương trình f(x) = 0, để chứng tỏ phương trình gồm k nghiệm vào , ta thực hiện theo các bước sau

*

Dạng 5. Thực hiện tính tiếp tục của hàm số để xét vệt hàm số

Sử dụng kết quả : “Nếu hàm số y = f(x) liên tiếp và ko triệt tiêu trên đoạn thì bao gồm dấu một mực trên khoảng (a; b)”

3. Bài tập hàm số liên tục

Bài tập 1. Xét tính tiếp tục của hàm số sau tại điểm x0 = 1:

*

Lời giải

Dựa vào dạng 1: Xét tính liên tiếp của hàm số trên một điểm

Hàm số xác định với phần đa x ∈ R

*

Bài tập 2. Mang lại hàm số

*

Lời giải

Dựa vào dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

*

Bài tập 3. Minh chứng hàm số $fleft( x ight) = sqrt 8 – 2x^2 $ liên tiếp trên đoạn < -2; 2>

Lời giải

Dự vào dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng

Hàm số liên tiếp trên đoạn <−2; 2>

Với x0 ∈ (−2; 2), ta có: $mathop lim limits_x o x_0 sqrt 8 – 2x^2 = sqrt 8 – 2x_0^2 = fleft( x_0 ight)$

Vậy, hàm số tiếp tục trên khoảng chừng (−2; 2).

Xem thêm: Viết Bài Văn Số 7 Lớp 8 : Đề 1 → Đề 3 (49 Mẫu), Các Bài Viết Số 7 Lớp 8: Văn Nghị Luận Hay Nhất

Ngoài ra, sử dụng số lượng giới hạn một mặt ta chứng tỏ được:

Hàm số f(x) liên tiếp phải tại điểm x0 = −2.Hàm số f(x) liên tục trái trên điểm x0 = 2.Vậy, hàm số tiếp tục trên đoạn <−2; 2>.

Bài tập 4. Chứng minh rằng phương trình x5 + x − 1 = 0 có nghiệm trên khoảng tầm (−1; 1)

Lời giải

Dựa vào dạng 4. áp dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh

Xét hàm số f(x) = x5 + x − 1 liên tục trên R ta bao gồm :f(−1).f(1) = −3.1 = −3 Toán học tập giải đáp bạn rõ hơn. Chúc bàn sinh hoạt tập hiệu quả,